Fraktale zmienią liniowe postrzeganie świata?

Ten naukowiec właściwie miał na imię Benedykt i urodził się w Warszawie, gdzie spędził pierwsze 12 lat życia. Jego polsko-żydowscy rodzice postanowili wyemigrować w 1936 r. do Francji, a dwie dekady później już jako pracownik uniwersytecki przeniósł się do Stanów Zjednoczonych. Może to skomplikowane dzieje mieszanej rodziny i częste przeprowadzki sprawiły, że zajął się złożonymi strukturami geometrycznymi, które nazwał potem fraktalami.

Teoria, którą opracował, jest działem geometrii, zajmującym się opisem obiektów wykazujących nieregularności przy dowolnie dużym powiększeniu, które nie mogą być przedstawione w prosty sposób za pomocą odcinków, płaszczyzn czy brył geometrycznych.

Wszystko jest fraktalem

Przykładem fraktala może być… kalafior. Mandelbrot (zm. 2010 r.) często rozpoczynał swoje wykłady od prezentacji tego warzywa. – Jeśli patrzysz na wycinek kalafiora, widzisz cały kalafior. I odwrotnie: całość przypomina dowolny fragment – tłumaczył. – Znamy przedmioty, w przypadku których każdy ich fragment wygląda jak całość, tylko jest mniejszy – mówił Mandelbrot.

Powoływał się przy tym na tzw. chropowatość (nieregularność), którą niezwykle trudno ująć matematycznymi formułami, pozostając w kręgu geometrii euklidesowej. Ta ostatnia opisuje rzeczywistość w przestrzeni dwu- lub trójwymiarowej za pomocą m.in. linii prostych i krzywych. Jednak gdy wyjdziemy poza narzucone przez Euklidesa aksjomaty (m.in. „dwa dowolne punkty można połączyć jednym odcinkiem” czy „przez wybrany punkt poza prostą można przeprowadzić tylko jedną prostą do niej równoległą), można konstruować figury nieistniejące! Te ostatnie da się porównać do liczb niewymiernych, czyli takich, których wartości nie da się określić.

Około stu lat temu słynni matematycy – w tym przedstawiciel szkoły lwowsko-warszawskiej – Wacław Sierpiński wymyślali zbiory o względnie prostym wzorze i poszarpanym wyglądzie (np. dywan Sierpińskiego, trójkąt Sierpińskiego), czyli fraktale. Robili to kilkadziesiąt lat przed wprowadzeniem tego pojęcia do matematyki przez Mandelbrota (stało się to w latach 70. XX w.).

Wideo:

Z kolei przed Sierpińskim, jeszcze w XIX w. strukturę fraktalną – nie używając tego pojęcia – wymyślił Niemiec, twórca teorii mnogości – Gregor Cantor. Konstrukcja jego zbioru była prosta: dzielił odcinek na trzy równe części, po czym usuwał część środkową, a z pozostałymi dwoma odcinkami przeprowadzał taką samą operację i tak… w nieskończoność.]

Fraktale nie mają ścislej definicji

Ze względu na różnorodność fraktali współcześni naukowcy unikają podawania ich ścisłej definicji. Wyróżniają jednak cechy, które występują w większości przypadków tych struktur. Są to m.in.: prosta definicja rekurencyjna (odwołująca się sama do siebie), samopodobieństwo (często na wielu poziomach), wysoki poziom szczegółów i nieregularność.

Mandelbrot w swych rozważaniach doszedł do wniosku, że fraktalem jest wszystko. Uzasadniał to tym, że oglądając każdy obiekt fizyczny, w określonym momencie dostrzegamy, że ma ona strukturę fraktalną – wszystko zależy od skali, w jakiej dany obiekt obserwujemy (w przypadku obiektów matematycznych również od przybliżenia). Dla przykładu: przyglądając się plasterkowi żółtego sera, nie zdajemy sobie sprawy z faktu, że białko, które jest jego podstawą, ma strukturę fraktalną. Podobnie: zbiór Mandelbrota, czyli podzbiór płaszczyzny zespolonej, którego brzeg jest jednym z najbardziej znanych fraktali dopiero widziany w odpowiedniej skali „ujawnia” swoją „fraktalność”.

Przeczytaj też: Kuchenne rewolucje. Ha-Joon Chang i jego przepis na sprawiedliwą ekonomię

Kontekst nadaje sens?

Fraktalne postrzeganie świata stanowi istotny przełom w nauce. Z jednej strony podkreśla złożoność przedmiotów, a z drugiej akcentuje kontekstowość tegoż postrzegania. Innymi słowy: ocena czy interpretacja tej samej struktury różni się w zależności np. od skali, w jakiej ją oglądamy. Przywodzi to na myśl psychologię postaci (teoria gestalt) czy psychoanalizę. W tym kontekście teoria fraktali nie może pozostać bez wpływu na współczesną filozofię.

Co zatem oznaczają fraktale dla królowej nauk? Rozważania dotyczące tych kwestii trwają stosunkowo krótko: w liczącej ponad 2500 lat historii filozofii europejskiej jest to dopiero około pół wieku. Jednak koncepcje Mandelbrota zainspirowały wielu badaczy do stawiania śmiałych tez.

Filozofowie religii zauważają, że samopodobieństwo struktur – typowe dla fraktali – występuje już w starożytnych wierzeniach – tam, gdzie pojawia się reinkarnacja. Można ją bowiem interpretować jako nabywanie przez tę samą duszę bądź świadomość coraz to nowych wcieleń. Rozmaite formy reinkarnacji stanowią podstawę wierzeń hinduizmu, wyznawanego współcześnie przez ponad miliard ludzi (głównie w Indiach), buddyzmu (ok. 500 mln) i dżinizmu (ok. 5 mln). Wędrówka dusz obecna jest w religiach plemion afrykańskich, wśród platończyków, gnostyków czy wyznawców kabały.

Polecamy: Jak powstawały polskie banknoty? Pieniądz papierowy jako sztuka

Cykliczność

Inną koncepcją religijną, którą można połączyć z właściwą dla struktur fraktalnych cyklicznością, jest tzw. wieczny powrót, czyli teoria zakładająca, że świat powtarzał się i będzie powtarzać w tej samej postaci nieskończenie wiele razy. Źródła tej koncepcji tkwią w mitologii starożytnego Egiptu. Później pojawiały się u greckich filozofów przyrody (wszystko bierze się z praprzyczyny bytów – tzw. arche i do niej wraca), pitagorejczyków i stoików. Ci ostatni interpretowali świat jako wciąż na nowo odgrywany spektakl, podobny w szczegółach do poprzedniego. Greckim symbolem wiecznego powrotu, a także zjednoczenia przeciwieństw i nieskończoności był uroboros – wąż połykający własny ogon. Po rozprzestrzenieniu się chrześcijaństwa, koncepcja ta została zapomniana, w czasach nowożytnych wrócił do niej Fryderyk Nietzsche.

Współcześni filozofowie nauki zwracają uwagę na to, że zrozumienie fenomenu fraktali wpłynie na rozwój badań interdyscyplinarnych, pozwalających wyjść poza dotychczasowy schemat podziału nauk. Umożliwi jednocześnie lepsze zrozumienie pomiędzy filozofią a naukami ścisłymi i przyrodniczymi. Obecnie bowiem dysponujemy zwykle odizolowanymi wycinkami różnych gałęzi wiedzy – niczym nieruchomymi klatkami filmu. Odseparowane „klatki” docierają do nas w szkole czy na uniwersytetach i utrwalają statyczną, poszatkowaną wizję rzeczywistości. Widzimy świat jako zbiór niespójnych mozaik, podczas gdy w rzeczywistości jest on czymś w rodzaju filmu, gdzie mamy do czynienia z wielorakimi oddziaływaniami różnych elementów na siebie nawzajem. Zrozumienie struktury fraktali – zdaniem ich badaczy – pozwoli nam na uzyskanie obrazu pełnego i spójnego, połączenie nieskończonych ciągów zjawisk i ich powiązań w spójną całość.

Nowy fraktalny świat

Uświadomienie sobie fraktalnej natury rzeczywistości zmienia dotychczasową „analogową” wizję otaczającego nas świata, ujawniając nowe, nieoczywiste połączenia zjawisk. Można to wytłumaczyć na przykładzie drzewa. To struktura, która rozwija się dzięki informacji genetycznej, zawartej w nasieniu – jej emanacją są korzenie, pień, konary, liście itp. Cała konstrukcja jest wewnętrznie zorganizowana, a kolejne podziały komórek przynoszą nową jakość (np. pojawiają się kwiaty, owoce itd.). Te ostatnie zawierają ziarna, które w przyszłości staną się zalążkiem nowego życia, dając początek nowemu cyklowi rozwojowemu. Fraktalne podziały zaczynają się od nowa.

Próba takiego całościowego ujęcia wskazuje na istniejącą w świecie przyrody zasadę powtarzalności i rozwoju poszczególnych elementów w nowe poziomy funkcjonowania. Jak widzimy: finalnie ziarno zawiera w sobie komplet informacji potrzebnych do wytworzenia całej skomplikowanej struktury drzewa (zgodnie z fraktalną zasadą: część odzwierciedla całość i odwrotnie).

Należy pamiętać o dynamizmie tego procesu: dzięki przepływowi informacji elementy fraktala pozostają ze sobą w stałym kontakcie, zmierzając do osiągnięcia założonego stanu równowagi, a każda anomalia zaburza działanie tej sieci. Fraktalne postrzeganie zjawiska umożliwia jego pełniejsze zrozumienie. Dzięki niemu dostrzegamy kontekst sytuacji: mamy obraz przyczyny (tutaj: kiełkujące ziarno) i skutku (dojrzałe drzewo), a do tego sieć wielorakich powiązań opisujących cykl rozwojowy.

Wzięcie pod uwagę teorii fraktali do analizy otaczającego nas świata daje szansę na poszerzenie granic ludzkiego postrzegania poprzez zmianę układów odniesienia. Jakakolwiek obserwacja naukowa możliwa jest tylko z zastrzeżeniem współzależności (np. ciało porusza się względem innego ciała). A skoro każdy z podmiotów obserwujących jest gdzie indziej usytuowany, wynik obserwacji pozostaje subiektywny.

Jak postrzegamy świat?

Subiektywizm postrzegania jest też związany z tym, że zarówno ilość, jak i jakość dostrzeganych szczegółów jest uzależniona nie tylko od umiejscowienia obserwatora, ale też m.in. od jego stanu psychofizycznego, cech itp. – wszak każdy postrzega to samo drzewo nieco inaczej. Jednak zgromadzenie odpowiednio dużej liczby danych i nałożenie na siebie różnych poziomów postrzegania, sprawia, że uzyskujemy dane zaokrąglone (uśrednione). Można tę sytuację porównać do uproszczeń stosowanych na mapach (zwykle drogi czy rzeki są bardziej kręte niż na przedstawionym schemacie). Podobnie jak – mimo znajomości teorii względności i jej wpływu na ruch ciał – często przyjmujemy zasady dynamiki Newtona jako trafnie opisujące rzeczywistość (istotne różnice pojawiłyby się dla ciał poruszających się z ogromnymi prędkościami).

Pamiętając o wielościach możliwych układów odniesienia i złożoności struktur, należy mieć na uwadze to, że zwykle podświadomie wybieramy uproszczony obraz świata. Dlatego fraktalna geometria natury z trudem przebija się do świadomości uczonych. Wszak narusza i kruszy zastany porządek, a na dodatek wymaga dodatkowego wysiłku – reinterpretacji zjawisk. Ale przyjmując zasadę Arystotelesa „Platon przyjacielem, lecz większą przyjaciółką prawda” – uczciwe postawienie sprawy wymagałoby próby nowego, fraktalnego spojrzenia na otaczający świat.

Zobacz także: Łódzkie murale. Jak sztuka rozsławiła polskie miasto na cały świat?

Poza wymienionymi wcześniej argumentami są jeszcze inne. Pierwszy – wcale niebagatelny – estetyczny. Fraktale – wszystko jedno czy wygenerowane z matematycznych wzorów mozaiki, czy dostrzegane w naturze płatki śniegu, liście lub skały – są po prostu bardzo ładne. Drugi: ogromnej wagi dla świata w niepewnych czasach. Wiedza o fraktalach wspomaga m.in. telekomunikację, informatykę czy bezpieczeństwo przesyłania danych. Dla przykładu: dzięki tym „obiektom samopodobnym” możemy na co dzień korzystać z telefonów komórkowych – praktycznie każdy z nich jest wyposażony w antenę o specjalnej konstrukcji, wykorzystującej kształty występujące we fraktalach. Zatem odkrycie tych geometrycznych „dziwolągów” sprawiło, że przyszłe pokolenia mogą żyć wygodniej i bezpieczniej.

Może cię również zainteresować: